题目内容
8．如图1，已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E，作MF∥BD交AC于点F．（1）如图2，若四边形ABCD是菱形，求证：四边形OEMF是矩形；
（2）如图3，若四边形ABCD是矩形，则四边形OEMF是菱形（在横线上填一个特殊平行四边形的名称）
（3）如图4，若四边形ABCD是矩形，点M是BC延长线上的一个动点，点F落在AC的延长线上，点E落在线段OD上，其余条件不变，写出OB，ME，MF三条线段之间存在的数量关系，并说明理由．
分析 （1）先根据两组对边分别平行证明四边形OEMF是平行四边形，再由菱形的对角线互相垂直得∠BOC=90°，得四边形OEMF是矩形；
（2）根据矩形的性质和三角形的中位线定理证明OE=EM，则?OEMF是菱形；
（3）ME=OB+MF，分别证明FC=FM和OF=EM，根据线段的和可以得出结论．
解答 证明：（1）如图2，∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四边形OEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴?OEMF是矩形；
（2）如图3，若四边形ABCD是矩形，则四边形OEMF是菱形，理由是：
由（1）得：四边形OEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD，OC=$\frac{1}{2}$AC，AC=BD，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵EM∥OC，
∴∠EMB=∠OCB，
∴∠EMB=∠OBC，
∴BE=EM，
∵BM=MC，EM∥OC，
∴BE=OE，
∴OE=EM，
∴?OEMF是菱形；
故答案为：菱形；
（3）如图4，ME=OB+MF，理由是：
由（2）得：OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵MF∥BE，
∴∠OBC=∠BMF，
∴∠OCB=∠BMF，
∵∠OCB=∠FCM，
∴∠FCM=∠BMF，
∴FC═FM，
由（1）得四边形OEMF是平行四边形，
∴OF=EM，
∵OF=OC+FC=OB+FM，
∴ME=OB+MF．
点评 本题是四边形的综合题，难度适中，考查了平行四边形、矩形、菱形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、三角形的中位线定理及平行线的性质，明确各类特殊四边形对角线的性质是本题的关键．
练习册系列答案
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