Question

16．观察下列等式：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
将以下三个等式两边分别相加得：
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
（1）按以上规律直接写出：$\frac{1}{6×7}$=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$；
（2）按以上规律直接写出下列式子的计算结果：
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…$\frac{1}{2014×2015}$=$\frac{2014}{2015}$；
（3）探究并利用以上规律计算：$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2014×2016}$．

Answer 1

分析 （1）原式利用拆项法变形，计算即可；
（2）原式利用拆项法变形，计算即可得到结果；
（3）原式利用拆项法变形，计算即可得到结果．

解答 解：（1）$\frac{1}{6×7}$=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$；
（2）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$=1-$\frac{1}{2015}$=$\frac{2014}{2015}$；
（3）原式=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2016}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2016}$）=$\frac{501}{2016}$，
故答案为：（1）$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$；（2）$\frac{2014}{2015}$

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握拆项的方法是解本题的关键．