Question

8．等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，底角的正切值为$\frac{1}{2}$，求底边BC的长．

Answer 1

分析 连接AO，交BC于点E，连接BO，求出$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，根据垂径定理得出OA⊥BC，BC=2BE，设AE=x，则BE=2x，OE=5-x，根据勾股定理得出方程（2x）²+（5-x）²=5²，求出方程的解即可．

解答 解：连接AO，交BC于点E，连接BO，
∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
又∵OA是半径，
∴OA⊥BC，BC=2BE，
在Rt△ABE中，∵tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
设AE=x，则BE=2x，OE=5-x，
在Rt△EO中，BE²+OE²=OB²，
∴（2x）²+（5-x）²=5²，
解得：x₁=0（舍去），x₂=2，
∴BE=2x=4，
∴BC=2BE=8．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，解直角三角形，勾股定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形，用了方程思想，难度适中．