Question

（2012•乐山）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，-n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x²-2x-3=0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）首先解方程得出A，B两点的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）①首先求出AB的直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可；
②利用S_△BOD=S_△ODQ+S_△BDQ得出关于x的二次函数，进而得出最值即可．

解答：解（1）解方程x²-2x-3=0，
得 x₁=3，x₂=-1．
∵m＜n，
∴m=-1，n=3…（1分）
∴A（-1，-1），B（3，-3）．
∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax²+bx（a≠0）．
∴

-1=a-b -3=9a+3b

解得：

a=- 1 2 b= 1 2

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x2+

1

2

x．…（4分）

（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．
∴

-1=-k+b -3=3k+b.

解得：

k=- 1 2 b=- 3 2

，
∴直线AB的解析式为y=-

1

2

x-

3

2

．
∴C点坐标为（0，-

3

2

）．…（6分）
∵直线OB过点O（0，0），B（3，-3），
∴直线OB的解析式为y=-x．
∵△OPC为等腰三角形，
∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．
设P（x，-x），
（i）当OC=OP时，x2+(-x)2=

9

4

．
解得x1=

3 2

4

，x2=-

3 2

4

（舍去）．
∴P₁（

3 2

4

，-

3 2

4

）．
（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，
∴P₂（

3

4

，-

3

4

）．
（iii）当OC=PC时，由x2+(-x+

3

2

)2=

9

4

，
解得x1=

3

2

，x₂=0（舍去）．
∴P₃（

3

2

，-

3

2

）．
∴P点坐标为P₁（

3 2

4

，-

3 2

4

）或P₂（

3

4

，-

3

4

）或P₃（

3

2

，-

3

2

）．…（9分）

②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．
设Q（x，-x），D（x，-

1

2

x2+

1

2

x）．
S_△BOD=S_△ODQ+S_△BDQ=

1

2

DQ•OG+

1

2

DQ•GH，
=

1

2

DQ（OG+GH），
=

1

2

[x+(-

1

2

x2+

1

2

x)]×3，
=-

3

4

(x-

3

2

)2+

27

16

，
∵0＜x＜3，
∴当x=

3

2

时，S取得最大值为

27

16

，此时D（

3

2

，-

3

8

）．…（13分）

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及等腰三角形的性质和三角形面积求法等知识，求面积最值经常利用二次函数的最值求法得出．