Question

18．如图，正方形ABCD中，点F在AD上，点E在AB的延长线上，∠FCE=90°．
（1）求证：△CDF≌△CBE．
（2）若CD=8，EF=10$\sqrt{2}$，求∠DCF的余弦值．

Answer 1

分析 （1）首先根据正方形的性质和角之间的等量关系证明∠1=∠3，再结合题干条件即可证明△CDF≌△CBE；
（2）设DF为x，根据勾股定理得出x的值，即DF的值，再根据勾股定理得出CF的长，解答即可．

解答 （1）证明：∵∠ECF=90°，

∴∠2+∠3=90°
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠2=90°
∴∠1=∠3，
∵在△DCF和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{BC=CD}\\{∠D=∠EBC}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△BCE（ASA）；
（2）设DF为x，AF为（8-x），
在Rt△AFE中，可得：$（8-x）^{2}+（8+x）^{2}=（10\sqrt{2}）^{2}$，
解得：x=6，
即DF=6，
在Rt△DCF中，
可得：CF=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}=10$，
∴cos∠DCF=$\frac{CD}{CF}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$．

点评 此题考查正方形的性质，关键是关键全等三角形的判定和性质分析，同时利用勾股定理进行解答．