Question

12．某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
操作发现：
（1）已知，△ABC，如图1，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，请你完成作图，并猜想BE与CD的数量关系是BE=CD．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
类比探究：
（2）如图2，分别以AB和AC为边向△ABC外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE、BG，则线段CE、BG有什么关系？说明理由．
灵活运用：
（3）如图3，已知△ABC中，∠ABC=45°，AB=2$\sqrt{2}$，BC=3，过点A作EA⊥AC，垂足为A，且满足AC=AE，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）如图所示，结论：BE=CD．只要证明△DAC≌△EAB即可；
（2）结论：CE=BG且EC⊥BG．在正方形ABDE和正方形ACFG中，设CE交BG于O，EC交AB于K．只要证明△ACE≌△AGB即可解决问题；
（3）以AB为腰向外作等腰直角三角形Rt△ABG，连接CG．首先求出CG，再证明△AGC≌△ABE，即可推出CG=BE；

解答 解：（1）作图如下，

猜想：BE=CD．
理由：∵AB=AD．AC=AE，∠DAB=∠EAC，
∴∠DAC=∠EAB，
在△DAC和△EAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=AB}\\{∠DAC=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△EAB，
∴CD=BE．
故答案为BE=CD．

（2）结论：CE=BG且EC⊥BG．
理由：在正方形ABDE和正方形ACFG中，设CE交BG于O，EC交AB于K．

∵AE=AB，AC=AG，∠EAB=∠CAG=90°，
在△ACE和△AGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAC=∠BAG}\\{AC=AG}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△AGB，
∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，
∵∠AKE=∠BKO，
∴∠BOK=∠EAK=90°，
∴EC⊥BG，EC=BG．

（3）以AB为腰向外作等腰直角三角形Rt△ABG，连接CG．

在Rt△ABG中，∵AB=AG=2$\sqrt{2}$
∴BG=$\sqrt{A{B}^{2}+A{G}^{2}}$=4，
∵∠GBA=∠ABC=45°，
∴∠GBC=90°，
∴CG=$\sqrt{B{G}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵AG=AB，AE=AC，∠BAG=∠EAC=90°，
∴∠GAC=∠EAB，
在△GAC和△EAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AB}\\{∠GAC=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△ABE，
∴CG=BE，
∵CG=5，
∴BE=5．

点评 本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形，属于中考压轴题．