Question

20．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点F是高AD和BE的交点，∠CAD=30°，CD=4，求线段BF的长．

Answer 1

分析 由∠BDF=∠ADC=90°，∠DBF=∠CAD，∠DAB=∠DBA，推出BD=AD，根据ASA证△BFD≌△ACD，证出BF=AC，再由直角三角形的性质即可得出答案．

解答 解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BEA=∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠C+∠CBE=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠DBF=∠CAD，
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵在△BFD和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠ADC=90°}&{\;}\\{BD=AD}&{\;}\\{∠DBF=∠CAD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BFD≌△ACD（ASA），
∴BF=AC，
∵∠CAD=30°，∠ADC=90°，
∴BF=AC=2CD=8．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定、直角三角形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．