Question

8．如图，CD为⊙O的直径，OA，OB是⊙O的半径，OA⊥OB，作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，已知AB=5$\sqrt{2}$．求CE+AE+BF+DF的值．

Answer 1

分析 由AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，得到∠AEO=∠BFO=90°，根据余角的性质得到∠OAE=∠BOF，推出△AOE≌△BOF，根据全等三角形的性质得到AE=OF，OE=BF，等量代换得到CE+AE+BF+DF=CE+OF+OE+DF=CD，根据等腰直角三角形的性质得到OA=OB=5，于是得到结论．

解答 解：∵AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，
∴∠AEO=∠BFO=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOE+∠BOF=∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠OAE=∠BOF，
在△AOE与△BOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠BFO}\\{∠OAE=∠BOF}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOF，
∴AE=OF，OE=BF，
∴CE+AE+BF+DF=CE+OF+OE+DF=CD，
∵AB=5$\sqrt{2}$，
∴OA=OB=5，
∴CE+OF+OE+DF=CD=2OA=10．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．