Question

设二次函数y=x2+2ax+

a2

2

(a＜0)的图象顶点为A，与x轴交点为B、C，当△ABC为等边三角形时，a的值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：根据已知的二次函数关系式，得出顶点坐标，用含x₁、x₂的式子表示出BC的长度，利用BC在△ABC中与AD的关系，即可得出一个等式，解这个式子即可得出a的值（注意舍去不符合题意的值）．

解答：解：∵二次函数y=x²+2ax+

a2

2

（a＜0），
∴其顶点坐标为（-a，-

a2

2

），
设抛物线与x轴的两个交点为B（x₁，0）、C（x₂，0），
则x₁+x₂=-2a，x₁•x₂=

a2

2

，
∵对称轴与x轴的交点为D，
∴|BC|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=-

2

a，
又∵△ABC为等边三角形，
∴|AD|=

3

2

|BC|，即

a2

2

=

3

2

|BC|，
代入即有：a²+

6

a=0，
解得：a=-

6

或a=0（舍去），
故答案为：-

6

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和有关等边三角形的一些知识，在求的结果中要注意得出值的取舍问题．