题目内容
对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，给出如下的定义：若⊙O上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙O的关联点．已知点D（| 1 |
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（1）当⊙O的半径为1时，①在点D、E、F这三个点中，⊙O的关联点是
（2）若线段EF上的所有点都是⊙O的关联点，求⊙O的半径r的取值范围．
考点：圆的综合题,等腰三角形的性质,勾股定理,切线的性质,切线长定理,锐角三角函数的定义,特殊角的三角函数值
专题：新定义
分析：（1）若点P刚好是⊙O的关联点，则点P到⊙O的两条切线PA与PB之间的夹角为60°，此时OP=2r，进而得到：若点P是⊙O的关联点，则需点P到圆心O的距离d满足0≤d≤2r．
①由于OD＜2，OE=2，OF＞2，因此点D、E是⊙O的关联点；②只需考虑点F刚好是⊙O的关联点时所对应的m的值，就可得到m的取值范围．
（2）由于线段EF任意一点到点O的距离都小于等于OF，因此要使线段EF上的所有点都是⊙O的关联点，只需OF≤2r即可，由OF=2
即可得到⊙O的半径r的取值范围．
①由于OD＜2，OE=2，OF＞2，因此点D、E是⊙O的关联点；②只需考虑点F刚好是⊙O的关联点时所对应的m的值，就可得到m的取值范围．
（2）由于线段EF任意一点到点O的距离都小于等于OF，因此要使线段EF上的所有点都是⊙O的关联点，只需OF≤2r即可，由OF=2
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解答：解：（1）由题可知：若点P刚好是⊙O的关联点，则点P到⊙O的两条切线PA与PB之间的夹角为60°，如图1，
∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=
∠APB=30°．
∴OP=2OA．
设⊙O的半径为r，则点P刚好是⊙O的关联点时OP=2r．
所以若点P是⊙O的关联点，则需点P到圆心O的距离d满足0≤d≤2r．
①过点D作DC⊥x轴，垂足为C，连接OD，如图2，
∵点D（
，
），
∴OC=DC=
．
∴OD=
．
∵0＜OD＜2，OE=2，OF＞2，
∴点D、点E是⊙O的关联点，点F不是⊙O的关联点．
故答案为D、E．
②过点O作OH⊥GF，垂足为H，如图3，
则有OH=
OF=
．
当点P刚好是⊙O的关联点时，OP=2．
∵OH＜OP，
∴点P刚好是⊙O的关联点的位置有两个，记为P1、P2．
在Rt△GOF中，tan∠GFO=
=
=
，
解得：OG=2．
所以点P1与点G重合，此时m=0．
过点P2作P2M⊥x轴，垂足为M，
∵∠OGF=90°-30°=60°，OP1=OP2，
∴∠OP2P1=∠OP1P2=∠OGP2=60°．
∴∠P2OF=30°．
∴cos∠P2OM=
=
=
．
∴OM=
，此时m=
．
∵直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，
∴点P在线段P1P2（即GP2）上，
∴m的范围是0≤m≤
．
（2）由于线段EF任意一点到点O的距离都小于等于OF，
因此要使线段EF上的所有点都是⊙O的关联点，只需OF≤2r，即2
≤2r，
则有r≥
．
∴⊙O的半径r的取值范围是r≥
．
∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=
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∴OP=2OA．
设⊙O的半径为r，则点P刚好是⊙O的关联点时OP=2r．
所以若点P是⊙O的关联点，则需点P到圆心O的距离d满足0≤d≤2r．
①过点D作DC⊥x轴，垂足为C，连接OD，如图2，
∵点D（
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| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴OC=DC=
| 1 |
| 2 |
∴OD=
| ||
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∵0＜OD＜2，OE=2，OF＞2，
∴点D、点E是⊙O的关联点，点F不是⊙O的关联点．
故答案为D、E．
②过点O作OH⊥GF，垂足为H，如图3，
则有OH=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
当点P刚好是⊙O的关联点时，OP=2．
∵OH＜OP，
∴点P刚好是⊙O的关联点的位置有两个，记为P1、P2．
在Rt△GOF中，tan∠GFO=
| OG |
| OF |
| OG | ||
2
|
| ||
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解得：OG=2．
所以点P1与点G重合，此时m=0．
过点P2作P2M⊥x轴，垂足为M，
∵∠OGF=90°-30°=60°，OP1=OP2，
∴∠OP2P1=∠OP1P2=∠OGP2=60°．
∴∠P2OF=30°．
∴cos∠P2OM=
| OM |
| OP2 |
| OM |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴OM=
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∵直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，
∴点P在线段P1P2（即GP2）上，
∴m的范围是0≤m≤
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（2）由于线段EF任意一点到点O的距离都小于等于OF，
因此要使线段EF上的所有点都是⊙O的关联点，只需OF≤2r，即2
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则有r≥
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∴⊙O的半径r的取值范围是r≥
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点评：本题通过新定义，考查了切线的性质、切线长定理、锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、特殊角的三角函数值、勾股定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，考查了阅读理解能力及分析问题解决问题的能力，是一道好题．
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