Question

如图，AB为⊙O的直径，弦CD平分∠ACB，CD交OB于点E．
（1）求证：△DBC∽△DEB；
（2）若DF⊥AC于点F，交AO于点G．
①求证：DF=BC+AF；
②若EG=10，EA=16，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）由DC平分∠ACB可求得

AD

=

BD

，依据等弧所对的圆周角相等，可求得∠2=∠EBD，进而求得三角形相似．
（2）①过D点作DH⊥BC，交CB的延长线于H，可证得△ADF≌△BDH依据全等三角形的性质进而求得DF=BC+AF；
②易证得△AED∽△DEG，然后设GO=x，可得OA=OD=6+x，OE=GE-GO=10-x，然后由在Rt△DOE中，DE²=OD²+OE²，可得方程，解此方程即可求得GO的长，继而求得OA的长，即圆的半径．

解答：
解：（1）∵∠ACD和∠DBA对同弧，
∴∠ACD=∠DBA，
又∵∠ACD=∠DCB，
∴∠DCB=∠DBA，
∵∠CDB=∠BDE，
∴△DBC∽△DEB；
（2）①∵∠ACD=∠DCB，
∴AD=BD，
过D点作DH⊥BC，交CB的有延长线与H，
∵∠DBH=∠1+∠2，∠DAF=∠3+∠4，∠1=∠4，∠3=∠2，
∴∠DBH=∠DAF，
在△ADF与△BDH中

∠DHB=∠DFA ∠DBH=∠DAF DB=DA

，
∴△ADF≌△BDH（AAS），
∴DF=DH，AF=BH，
∵∠ADB=90°，AD=BD，
∴∠3=45°，
∴∠2=∠3=45°，
∵∠DHC=90°，
∴∠2=∠CDH，
∴DH=CH，
∴DF=DH=BC+BH，
∴DF=BC+AF；

②∵∠BAD=∠ABD=45°，△DFC是等腰直角三角形，
∴∠CDF=∠FCD=45°，
∴∠BAD=∠CDF=45°，
∵∠AED=∠DEG（公共角），
∴△AED∽△DEG，
∴DE²=GE•EA，
∴DE=

GE•EA

=

10×16

=4

10

∵EG=10，EA=16，
∴AG=6，
设GO=x，OD=OA=6+x，
∴OE=GE-OG=10-x，
在Rt△DOE中，DE²=OE²+OD²，
∴（4

10

）²=（10-x）²+（6+x）²，
解得：x=6，
∴OD=OA=6+x=6+6=12．
∴⊙O的半径为12．

点评：此题考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及相交弦定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．