题目内容

已知：三角形ABC三边a、b、c满足a2=b2+c2-bc，b2=a2+c2-ac，c2=a2+b2-ab，
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若等边△ABC的面积为4，其内心为O1，连接BO1，以BO1为边作等边△BO1B1，记等边△BO1B1的面积S1，取△BO1B1的内心O2，连BO2，以BO2为边作等边△BO2B2，记等边△BO2B2的面积为S2，依次作等边三角形…记△BO2010B2010的面积为S2010，求S1、S2及S2010的值．
分析：（1）要证明△ABC为等边三角形，证明三边相等是解答本题的关键，将已知三式相加，然后化简变形，运用因式分解化成完全平方式，根据非负数和为零定理就可以求出a=b=c，从而证明结论．
（2）延长BO1交AC于D，根据内心和等边三角形的性质可以用字母表示出△ABC的面积及BO1的长度，同样地方法可以表示出△BB1O1的面积、△BB2O2的面积，依此类推可以表示出△BBnOn的面积．从而求出答案．
解答：（1）证明：∵a2=b2+c2-bc，b2=a2+c2-ac，c2=a2+b2-ab，
∴a2+b2+c2=b2+c2-bc+a2+c2-ac+a2+b2-ab，
∴0=a2+b2+c2-bc-ac-ab，
∴0=2a2+2b2+2c2-2bc-2ac-2ab，
∴0=（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2
∴a-b=0，a-c=0，b-c=0
∴a=b，a=c，b=c
∴a=b=c
∴△ABC是等边三角形；

（2）解：延长BO1交AC于D
∵O1为△ABC的内心，
∴BD⊥AC，AD=DC，设AD=x，则AC=2X，在Rt△ABD中由勾股定理，得
BD=
3
x，
∴S△ABC=
2x•
3
x
2
=4
∴
3
x2=4
在Rt△ADO1中，由勾股定理，得
DO1=
3
3
x
∴BO1=
2
3
3
x
∴EO1=
3
3
x，BE=x
∴S1=
3
3
x2=
4
3

同理可以求出BO2=
2
3
x，O2F=
1
3
x，BF=
3
3
x
S2=
2
3
x•
3
3
x
2
=
3
9
x2=
4
9

同理可得：S3=
4
27
…Sn=
4
3n

∴S2010=
4
32010

答：S1=
4
3
，S2=
4
9
，S2010=
4
32010
点评：本题考查了三角形的内切圆，因式分解的运用，等边三角形的判定与性质，勾股定理的运用，三角形面积的计算．
练习册系列答案
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59、已知：三角形ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．
（1）如图1，AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，还需添加的条件是？（只须写出三种情况）
（2）如图2，AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线．
已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A（0，1）、B（0，3），第三个顶点C在x轴的正精英家教网半轴上．关于y轴对称的抛物线y=ax2+bx+c经过A、D（3，-2）、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式及点P的坐标；
（3）设M是y轴上的一个动点，求PM+CM的取值范围．
已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A（0，1），B（0，3），第三个顶点C在x轴的正半轴上，关于y轴对称的抛物线y=ax2+bx+c经过点A，D（3，-2）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式并判断点C是否在抛物线上；
（3）设点P在（2）中的抛物线上，且点P关于直线AC的对称点在x轴上，求点P的坐标．
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．已知直角三角形ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于点B成中心对称得到的△A2BC2；
（3）画出△ABC绕点B顺时针旋转90°得到的△A3BC3．
如图：已知钝角三角形ABC，画出它三条边上的高．

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