如图.已知抛物线y=ax2+bx2-3与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.经过A.B.C三点的圆的圆心M(1.m)恰好在此抛物线的对称轴上.⊙M的半径为5．设⊙M与y轴交于点D.抛物线的顶点为点E．(1)求m的值及抛物线的解析式, (2)求证:△BDO∽△BCE, (3)探究坐标轴上是否存在点P.使得以点P.A.C为顶点的三角形与△BCE相似?若存在.请指出点P的位置.并直接� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，已知抛物线y=ax²+bx²-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为

．设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为点E．
（1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）求证：△BDO∽△BCE；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）先求出C（0，-3），根据两点间的距离公式，由MC=

得到（1-0）²+（m+3）²=5，解得m₁=-1，m₂=-5，设A点坐标为（t，0），再根据两点间的距离公式，当m=-1时，（t-1）²+（0+1）²=5，解得t₁=-1，t₂=3，则A（-1，0），B（3，0）；当m=-5时，（t-1）²+（0-5）²=5，解得t₁=t₂=1，不合题意舍去；
于是可设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把（0，-3）代入求出a=1，于是得到抛物线解析式为y=x²-2x-3；
（2）作MH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得到CH=DH，利用C（0，-3），H（-1，0）得到DH=2，则D（0，1），再利用配方法得到y=x²-2x-3=（x-1）²-4，所以E（1，-4），接着根据两点间的距离公式计算出CE=

，BE=2

，BC=3

，则CE²+BC²=BE²，根据勾股定理的逆定理得△BCE为直角三角形，∠BCE=90°，然后根据相似三角形的判定方法可得△BDO∽△BCE；
（3）由于以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似，利用△BCE的特征得到△PAC为直角三角形，且两直角边的比为1：3，然后分类讨论：当∠APC=90°时，点P与点O重合，得到P点坐标为（0，0）；当∠PAC=90°时，作AP₁⊥AC交y轴于P₁，如图，证明Rt△AOP₁∽Rt△COA，利用相似比计算出OP₁，得到P₁的坐标；当∠ACP=90°时，作CP₂⊥AC交y轴于P₂，如图，证明Rt△COP₂∽Rt△AOC利用相似比计算出OP₂，得到P₂的坐标．

解答：解：（1）当x=0时，y=ax²+bx²-3=-3，则C（0，-3），
∵MC=

，
∴（1-0）²+（m+3）²=5，解得m₁=-1，m₂=-5，
设A点坐标为（t，0），而MA=

当m=-1时，（t-1）²+（0+1）²=5，解得t₁=-1，t₂=3，则A（-1，0），B（3，0）；
当m=-5时，（t-1）²+（0-5）²=5，解得t₁=t₂=1，不合题意舍去；
∴抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把（0，-3）代入得a•1•（-3）=-3，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3；
（2）作MH⊥CD于H，如图，
∴CH=DH，
∵C（0，-3），H（-1，0），
∴CH=2，

∴DH=2，
∴OD=DH-OH=1，
∴D（0，1），
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴E（1，-4），
∴CE=

12+(-4+3)2

，BE=

(1-3)2+(-4)2

，
而BC=

32+32

，
∴CE²+BC²=BE²，
∴△BCE为直角三角形，∠BCE=90°，
∵

，

，
∴

，
∴△BDO∽△BCE；
（3）存在．
∵以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似，
∴△PAC为直角三角形，且两直角边的比为1：3，
当∠APC=90°时，点P与点O重合，此时P点坐标为（0，0）；
当∠PAC=90°时，作AP₁⊥AC交y轴于P₁，如图，
∵∠P₁AO+∠CAO=90°，
∠P₁AO+∠AP₁O=90°，
∴∠CAO=∠AP₁O，
∴Rt△AOP₁∽Rt△COA
∴OA²=OP₁•OC，
∴OP₁=

，
∴P₁的坐标为（0，