Question

19．如图，在梯形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：AB=DF；
（2）如果AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠EAB．再结合一对直角相等即可证明△ABE≌△DFA；然后根据全等三角形的对应边相等证明AB=DF；
（2）根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的长；再根据勾股定理求得DE的长，运用三角函数定义求解．

解答 （1）证明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB．
∵DF⊥AE，AE=BC，
∴∠AFD=90°，AE=AD．
在△ABE和△DFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠AFD=90°}\\{∠DAF=∠AEB}\\{AE=AD}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△DFA（AAS）；
∴AB=DF；

（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．
∴AB=DF=6．
在Rt△ADF中，AF=$\sqrt{A{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴EF=AE-AF=AD-AF=2．
∴tan∠EDF=$\frac{EF}{DF}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题综合考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义．熟练运用矩形的性质和判定，能够找到证明全等三角形的有关条件；运用全等三角形的性质求得三角形中的边，再根据锐角三角函数的概念求解．