Question

9．如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°．
（1）问△ABC是否为等边三角形？为什么？
（2）若⊙O的半径OD⊥BC于点E，BC=8，求⊙O的半径长．

Answer 1

分析 （1）先根据圆周角定理得出∠ABC的度数，再直接根据三角形的内角和定理进行解答即可；
（2）连接OB，由等边三角形的性质可知，∠OBD=30°，根据BC=8利用直角三角形的性质即可得出结论．

解答 解：（1）△ABC是等边三角形：
理由：
∵∠BAC=∠APC=60°，
又∵∠APC=∠ABC，
∴∠ABC=60°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°，
∴△ABC是等边三角形；

（2）解：如图，

连接OB，
∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴O为△ABC的外心，
∴BO平分∠ABC，
∴∠OBD=30°，
∴OE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，OB=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，

点评 本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，垂径定理，解直角三角形等知识，将各知识点有机结合，旨在考查同学们的综合应用能力．