Question

如图，已知抛物线y₁=x²+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．
（1）求抛物线y₁的解析式；
（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，写出平移后所得的抛物线y₂的解析式；
（3）设（2）的抛物线y₂与y轴的交点为B₁，顶点为D₁，若点N在抛物线y₂上，且满足△NBB₁的面积是△NDD₁面积的2倍，求点N的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得；
（2）根据旋转的知识可得：A（1，0），B（0，2），则OA=1，OB=2，可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x²-3x+2得y=2，可知抛物线y=x²-3x+2过点（3，2），将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C，进而得出答案；
（3）首先求得B₁，D₁的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想．

解答：解：（1）已知抛物线y=x²+bx+c经过A（1，0），B（0，2），
∴

0=1+b+c 2=0+0+c

，
解得

b=-3 c=2

，
∴所求抛物线的解析式为y=x²-3x+2；

（2）∵A（1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
可得旋转后C点的坐标为（3，1），
当x=3时，由y=x²-3x+2得y=2，
可知抛物线y=x²-3x+2过点（3，2），
∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．
∴平移后的抛物线解析式为：y₂=x²-3x+1；

（3）∵点N在y=x²-3x+1上，可设N点坐标为（x₀，x₀²-3x₀+1），
将y=x²-3x+1配方得y=（x-

3

2

）²-

5

4

，
∴其对称轴为直线x=

3

2

．
①0≤x₀≤

3

2

时，如图①，
∵S△NBB1=2S△NDD1，
∴

1

2

×1×x₀=2×

1

2

×1×（

3

2

-x₀），
∵x₀=1，
此时x₀²-3x₀+1=-1，
∴N点的坐标为（1，-1）．
②当x₀＞

3

2

时，如图②，
同理可得

1

2

×1×x₀=2×

1

2

×（x₀-

3

2

），
∴x₀=3，
此时x₀²-3x₀+1=1，
∴点N的坐标为（3，1）．
③当x＜0时，由图可知，N点不存在，
综上，点N的坐标为（1，-1）或（3，1）．

点评：此题考查了二次函数与一次函数的综合知识，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题．