题目内容

7．如图，已知Rt△ABC的直角边AC与Rt△DEF的直角边DF在同一条直线上，且AC=60c，BC=45cm，DF=6cm，EF=8cm．现将点C与点F重合，再以4cm/s的速度沿C方向移动△DEF；同时，点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AB方向移动．设移动时间为t（s），以点P为圆心，3t（cm）长为半径的⊙P与AB相交于点M，N，当点F与点A重合时，△DEF与点P同时停止移动，在移动过程中，
（1）连接ME，当ME∥AC时，t=$\frac{20}{3}$s；
（2）连接NF，当NF平分DE时，求t的值；
（3）是否存在⊙P与Rt△DEF的两条直角边所在的直线同时相切的时刻？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

分析 （1）作MH⊥AC，垂足为H，作OG⊥AC，垂足为G．首先可求得∠A的正弦和余弦值，在Rt△APG中可求得PG的长，然后再求得AM的长，接下来，再求得MH的长，最后依据MH=EF列方程求解即可；
（2）连结NF交DE与点G，则G为DE的中点．先证明△EDF∽△ABC，从而可证明∠A=∠E，然后再证明△ANF是直角三角形，然后利用锐角三角函数的定义可求得AF的长，然后依据AF+FC=AC列方程求解即可；
（3）如图3所示：过点P作PH⊥AC，垂足为H，当⊙P与EF相切时，且点为G，连结PG．先证明PG=HF，然后可得到AH=4t，FH=3t，FC=4t，然后依据AH+HF+FC=AC列方程求解即可；如图4所示：连接GP，过点P作PH⊥AC，垂足为H．先证明PG=HF，然后可得到AH=FC=4t，FH=3t，然后依据AH+CF-FH=AC列方程求解即可．

解答 解：（1）如图1所示：作MH⊥AC，垂足为H，作OG⊥AC，垂足为G．

∵在Rt△ABC中，AC=60，BC=45，
∴AB=75cm．
∴sin∠A=$\frac{3}{5}$．
∴PM=PG=$\frac{3}{5}$PA=3t．
∴AM=5t-3t=2t．
∴HM=$\frac{3}{5}$AM=$\frac{6}{5}$t．
当ME∥AC时，MH=EF，即$\frac{6}{5}$t=8，解得t=$\frac{20}{3}$．
故答案为：$\frac{20}{3}$．

（2）如图2所示：连结NF交DE与点G，则G为DE的中点．

∵AC=60cm，BC=45cm，DF=6cm，EF=8cm，
∴$\frac{BC}{DF}=\frac{AC}{EF}$．
又∵∠ACB=∠DFE=90°，
∴△EDF∽△ABC．
∴∠A=∠E．
∵E是DE的中点，
∴GF=DG=$\frac{1}{2}$ED．
∴∠DFD=∠GDF．
∵∠GDF+∠E=90°，
∴∠GFD+∠E=90°．
∴∠A+∠GFD=90°．
∴∠ANF=90°．
∴AF=$\frac{5}{4}$AN=10t．
又∵FC=4t，
∴10t+4t=60，解得t=$\frac{30}{7}$．

（3）如图3所示：过点P作PH⊥AC，垂足为H，当⊙P与EF相切时，且点为G，连结PG．

∵EF是⊙P的切线，
∴∠PGF=90°．
∵∠PGF=∠GFH=∠PHF=90°，
∴四边形PGFH为矩形．
∴PG=HF．
∵⊙P的半径为3t，sin∠A=$\frac{3}{5}$，AP=5t，
∴PH=3t．
∴⊙P与AC相切．
∵EF为⊙P的切线，
∴PG⊥EF．
∴HF=PG=3t．
∵AH=$\frac{4}{5}$AP=4t，FC=4t，
∴4t+3t+4t=60，解得t=$\frac{60}{11}$．
如图4所示：连接GP，过点P作PH⊥AC，垂足为H．

由题意得可知：AH=4t，CF=4t．
∵EF是⊙P的切线，
∴∠PGF=90°．
∵∠PGF=∠GFH=∠PHF=90°，
∴四边形PGFH为矩形．
∴PG=HF．
∵GP=FH，
∴FH=3t．
∴4t+4t-3t=60，解得：t=12．
综上所述，当t的值为$\frac{60}{11}$或12时，⊙P与Rt△DEF的两条直角边所在的直线同时相切．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了切线的性质，锐角三角函数的定义、相似三角形的性质和判定，得到△ANF是直角三角形是解答问题（2）的关键，依据AH、FC、HF和AC之间的数量关系列出方程是解答问题（3）的关键．

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