Question

如图，一次函数y=-

4

3

x+4的图象分别与x轴，y轴的正半轴交于点E、F，一次函数y=kx-4的图象与直线EF交于点A（m，2），且交于x轴于点P，
（1）求m的值及点E、F的坐标；
（2）求△APE的面积；
（3）若B点是x轴上的动点，问在直线EF上，是否存在点Q（Q与A不重合），使△BEQ与△APE全等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值；
（2）根据待定系数法，可得AP的解析式，根据函数值为零，可得P点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）分类讨论：①当点A与点B为对应顶点时，根据全等三角形的面积相等，可得Q点的纵坐标，根据函数值，可得相应自变量的值；②当点A与点Q为对应顶点时，可得Q点的纵坐标，根据函数值，可得相应自变量的值．

解答：解：（1）一次函数y=-

4

3

x+4的图象经过点A（m，2），
得-

4

3

m+4=2，
解得m=

3

2

，
∵一次函数y=-

4

3

x+4的图象分别与x轴、y轴的正半轴交于点E，F．
∴当y=0时，-

4

3

x+4=0，解得x=3即E（3，0）；
当x=0时，y=4，即F（0，4）；
（2）把点A（

3

2

，2）一次函数y=kx-4，得2=

3

2

k-4，解得k=4，
y=4x-4，当y=0时，x=1，即P（1，0）．
PE=3-1=2，
S_△APE=

1

2

×2×2=2；
（3）存在Q点，B点是x轴上的动点，点Q是直线y=-

4

3

x+4上的点，设Q（m，n）．
由两点间的距离，得AE=

(3- 3 2 )2+22

=

5

2

，AP=

(1- 3 2 )2+22

=

17

2

，PE=2．
①当点A与点B为对应顶点时，
∵△APE≌△BQE，
∴S△_BQE=S△_APE=2，
∴

1

2

BE×|n|=2．
∵BE=AE=

5

2

，
∴|n|=

8

5

，n=±

8

5

．
当n=

8

5

时，-

4

3

x+4=

8

5

，解得m=

9

5

，即Q₁（

9

5

，

8

5

）；
当n=-

8

5

时，-

4

3

x+4=-

8

5

，解得m=

21

5

，即Q₂（

21

5

，-

8

5

）；
②当点A与点Q为对应顶点时，∵△APE≌△QBE，
则n=-2，把n=-2代入y=-

4

3

x+4得m=-

9

2

，
∴Q₃（

9

2

，-2），
综上所述：Q₁（

9

5

，

8

5

），Q₂（

21

5

，-

8

5

），Q₃（

9

2

，-2）．

点评：本题考查了一次函数综合题，（1）利用了自变量与函数值的对应关系，（2）利用了三角形的面积公式，（3）利用了分类讨论的方法，根据全等三角形的性质得出Q点的纵坐标是解题关键．