Question

如图所示，点P是等边△ABC内一点，且PA：PB：PC=3：4：5，将△BPC绕点B逆时针旋转，使BC与AB重合，P点落在P′点，连接PP′．
（1）画图形并判断△APP′的形状；
（2）求∠APB的度数．

Answer 1

考点：旋转的性质,等边三角形的性质,勾股定理的逆定理

专题：

分析：（1）利用旋转的性质得出△BPP′是等边三角形，进而得出PP′=BP，即可得出PA：P′P：P′A=3：4：5，则问题得证；
（2）利用（1）中结论得出∠APP′=90°，∠P′PB=60°，可得出答案．

解答：解：（1）如图所示：
∵将△BPC绕点B逆时针旋转，使BC与AB重合，P点落在P′点，
∴△BPC绕点B逆时针旋转了60°，BP=BP′，PC=AP′，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP′=BP，
∵PA：PB：PC=3：4：5，
∴PA：P′P：P′A=3：4：5，
∴△APP′是直角三角形；

（2）∵△APP′是直角三角形，且AP′是斜边，
△BPP′是等边三角形，
∴∠APP′=90°，∠P′PB=60°，
∴∠APB的度数为：∠APP′+∠P′PB=90°+60°=150°．

点评：此题主要考查了旋转的性质以及等边三角形判定和性质以及直角三角形的判定与性质，根据已知得出PP′=BP是解题关键．