Question

6．如图，抛物线y=ax²+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点和B点坐标分别代入y=ax²+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；
（2）计算函数值为3所对应的自变量的值即可得到C点，然后根据三角形面积公式计算△ABC的面积；
（3）作PQ⊥BH，如图，设P（m，-m²+4m），则利用S_△ABH+S_梯形APQH=S_△PBQ+S_△ABP可得到关于m的方程，然后解方程求出m即可得到P点坐标．

解答 解：（1）把A（4，0），B（1，3）代入y=ax²+bx得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=-x²+4x；
（2）当y=3时，-x²+4x=3，解得x₁=1，x₂=3，则C点坐标为（3，3），
所以△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×2×3=3；
（3）作PQ⊥BH，如图，设P（m，-m²+4m）
∵S_△ABH+S_梯形APQH=S_△PBQ+S_△ABP，
∴$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$（3+m-1）×（m²-4m）=$\frac{1}{2}$×（m-1）×（3+m²-4m）+6，
整理得m2-5m=0，解得m₁=0（舍去），m₂=5，
∴P点坐标为（5，-5）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．