Question

已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C．

（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值．

（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．

（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．

Answer 1

解：（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入中，得y=－2．

∴B点坐标为（－8，－2）．而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）．

从而．

（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，

∴，B（－2m，－），C（－2m，－n），E（－m，－n）．

S_矩形DCNO，S_△DBO=，S_△OEN =，

∴S_{四边形OBCE}= S_矩形DCNO－S_△DBO－ S_△OEN=k．∴．

由直线及双曲线，得A（4，1），B（－4，－1），

∴C（－4，－2），M（2，2）．

设直线CM的解析式是，由C、M两点在这条直线上，

得   解得．

∴直线CM的解析式是．

（3）如图，分别作AA₁⊥x轴，MM₁⊥x轴，垂足分别为A₁、M₁．

设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a．

于是．

同理，

∴．