题目内容

同学们我们知道，直线y=kx是恒过定点（0，0）的一条直线，那么你能发现直线y=kx+k经过的定点为______，用类比的思想和数形结合的方法接着完成下列两题：
（1）求证：无论a为何值，抛物线y=ax²-（a-1）x+3恒过定点，并求此定点坐标．
（2）是否存在实数a，使二次函数y=ax²-（a-1）x+3在2≤x≤6范围的最值是4？若存在，求a的范围；若不存在，请说明理由？

解：y=kx+k经过的定点为：（-1，0）；
（1）证明：∵y=ax²-（a-1）x+3=（x²-x）a+x+3，
令x²-x=0，
x（x-1）=0，
∴x=0，或x=1，
∴过定点（0，3）和（1，4）；

（2）由二次函数的图象及对称性可知，
当在2≤x≤6范围取到最大值是4时，则函数图象必过点（2，4），
此时a= $\text{[math]}$ ；
当在2≤x≤6范围取到最小值是4时，则函数图象必过点（6，4），
此时a= $\text{[math]}$ ；
∴a= $\text{[math]}$ 或a= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据y=kx+k当x=-1，y=0，此时与k的值无关，即可得出y=kx+k经过的定点为：（-1，0）；再利用令x²-x=0，得出x=0，或x=1，即可得出图象过的固定点；
（2）利用当在2≤x≤6范围取到最大值是4时，则函数图象必过点（2，4），当在2≤x≤6范围取到最小值是4时，即可得出答案．
点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式，结合圆的性质、二次函数的对称性、结合图象进行解答，既体现了二次函数的性质，又体现了数形结合的重要性．