Question

（2012•莆田质检）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，O是AB的中点，经过O、C两点的圆分别与AC、BC相交于D、E两点．
（1）求证：OD=OE；
（2）求：四边形ODCE的面积．

Answer 1

分析：（1）首先连接OC，根据等腰直角三角形的性质得出，∠A=∠OCE=45°，进而得出∠AOD=∠COE，即可得出△AOD≌△COE，得出OD=OE；
（2）根据△AOD≌△COE，得出S_△AOD=S_△COE，即可求出S_{四边形ODCE}=S_△AOC=

1

2

S_△ABC，得出答案即可．

解答：方法一：
解：（1）连接OC如图：
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴OA=OC，∠A=∠OCE=45°，∠AOC=90°，
又∵∠DOE=180°-∠ACB=90°，
∴∠AOD=90°-∠DOC，∠COE=90°-∠DOC，
∴∠AOD=∠COE，
∴△AOD≌△COE，
∴OD=OE，

（2）∵△AOD≌△COE，
∴S_△AOD=S_△COE，
∴S_{四边形ODCE}=S_△AOC=

1

2

S_△ABC，
∴S_{四边形ODCE}=

1

2

×

1

2

×2×2=1；

方法二：
（1）过O分别作OM⊥AC于M，ON⊥BC于N如图
则四边形OMCN是矩形，∠MON=90°
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABC，
∴

OM

BC

=

AO

AB

=

1

2

，
又∵BC=2，
∴OM=1，
同理ON=1，
OM=ON，
四边形OMCN是正方形，
∵∠DOM=90°-∠MOE，∠EON=90°-∠MOE，
∴∠DOM=∠EON，
又∵∠OMD=∠ONE=90°，
∴△DOM≌△EON，
∴OD=OE；
（2）∵△DOM≌△EON，
∴S_△ODM=S_△OEN，
∴S_{四边形ODCE}=S_{正方形OMCN}，
 S四边形ODCE=12=1．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及图形面积求法，根据等腰直角三角形的性质得出∠AOD=∠COE是解题关键．