Question

1．如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB=8，点P在以AC为直径的半圆上，M为PB的中点，当点P沿半圆从点A运动至点C时，点M运动的路径长是（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$π
• B． $\sqrt{2}$π
• C． 2π
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如图，连接PA、PC，取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM、FM．首先证明∠EMF=90°，推出点M的轨迹是$\widehat{EF}$，即EF为直径的半圆，图中红线部分，由此即可解决问题．

解答 解：如图，连接PA、PC，取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM、FM．

∵AC是直径，
∴∠APC=90°，
∵BE=EA，BM=MP，
∴EM∥PA，同理FM∥PC，
∴∠BME=∠BPA，∠BMF=∠BPC，
∴∠BME+∠BMF=∠BPA+∠BPC=90°，
∴∠EMF=90°，
∴点M的轨迹是$\widehat{EF}$，（EF为直径的半圆，图中红线部分）
∵BC=AC，∠ACB=90°，AB=8，
∴AC=4$\sqrt{2}$，EF=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{2}$，
∴$\widehat{EF}$的长=π•$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$π．
故选B．

点评 本题考查轨迹、等腰直角三角形的性质、圆的有关知识、弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考常考题型．