题目内容

如图，⊙C经过原点且与两坐标分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，6），点M是圆上弧BO的中点，且∠BMO=120°．
①求弧BO的度数；
②求⊙C的半径；
③求过点B、M、O的二次函数解析式．

解：（1）连接AB，AM，则由∠AOB=90°，故AB是直径，
由∠BAM+∠OAM=∠BOM+∠OBM=180°-120°=60°，
得∠BAO=60°，∴弧BO的度数为120°；

（2）又AO=6，故cos∠BAO= $\text{[math]}$ ，AB= $\text{[math]}$ =12，
从而⊙C的半径为6．

（3）由（1）得，BO= $\text{[math]}$ =6 $\text{[math]}$ ，
过C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
则EC=OF= $\text{[math]}$ BO= $\text{[math]}$ ×6 $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，CF=OE= $\text{[math]}$ OA=3．
故C点坐标为（-3 $\text{[math]}$ ，3）．点B（-6 $\text{[math]}$ ，0），点M（-3 $\text{[math]}$ ，-3），
设过点B、M、O的二次函数解析式为：y=ax²+bx，把点B（-6 $\text{[math]}$ ，0），点M（-3 $\text{[math]}$ ，-3）代入，
解得：a= $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ，
故二次函数解析式为：y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x．
分析：（1）由于∠AOB=90°，那么应连接AB，得到AB是直径．由∠BMO=120°可得到∠BAO=60°即可得出答案；
（2）易得OA=6，利用60°的三角函数，即可求得AB，进而求得半径．
（3）利用勾股定理可得OB长，再求出点M的坐标即可求出二次函数解析式．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式及垂径定理与圆周角定理，难度较大，关键是掌握本题用到的知识点：90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．连接90°所对的弦，做弦心距是常用的辅助线方法．