Question

如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下五个结论：①

AG

AB

=

FG

FB

；②∠ADF=∠CDB；③点F是GE的中点；④AF=

2

3

AB；⑤S_△ABC=5S_△BDF，其中正确结论有（　　）个．

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：由△AFG∽△BFC，可确定结论①正确；
由△ABG≌△BCD，△AFG≌△AFD，可确定结论②正确；
由△AFG≌△AFD可得FG=FD＞FE，所以点F不是GE中点，可确定结论③错误；
由△AFG≌△AFD可得AG═

1

2

AB=

1

2

BC，进而由△AFG∽△BFC确定点F为AC的三等分点，可确定结论④正确；
因为F为AC的三等分点，所以S_△ABF=

1

3

S_△ABC，又S_△BDF=

1

2

S_△ABF，所以S_△ABC=6S_△BDF，由此确定结论⑤错误．

解答：解：依题意可得BC∥AG，
∴△AFG∽△BFC，∴

AG

BC

=

FG

FB

又AB=BC，∴

AG

AB

=

FG

FB

故结论①正确；
如右图，∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4．
在△ABG与△BCD中，

∠3=∠4 AB=BC ∠BAG=∠CBD=900

∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD，又BD=AD，∴AG=AD；
在△AFG与△AFD中，

AG=AD ∠FAG=∠FAD=450 AF=AF

∴△AFG≌△AFD（SAS），∴∠5=∠2，
又∠5+∠3=∠1+∠3=90°，∴∠5=∠1，
∴∠1=∠2，即∠ADF=∠CDB．
故结论②正确；
∵△AFG≌△AFD，∴FG=FD，又△FDE为直角三角形，∴FD＞FE，
∴FG＞FE，即点F不是线段GE的中点．
故结论③错误；
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=

2

AB
∵△AFG≌△AFD，∴AG=AD=

1

2

AB=

1

2

BC
∵△AFG∽△BFC，∴

AG

BC

=

AF

FC

，
∴FC=2AF，
∴AF=

1

3

AC=

2

3

AB，故结论④正确；
∵AF=

1

3

AC，
所以S_△ABF=

1

3

S_△ABC；又D为中点，∴S_△BDF=

1

2

S_△ABF，

∴S_△BDF=

1

6

S_△ABC，即S_△ABC=6S_△BDF．
故结论⑤错误．
综上所述，结论①②④正确，
故选B．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质的应用以及等底等高的三角形的面积相等的运用；同时通过勾股定理能求直角三角形三边间的关系是解题的关键．