Question

已知二次函数L₁：y=-2x²+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点；二次函数L₂：y=kx²-4kx+3k（k≠0）的顶点为P．
（1）请直接写出：b=

 

，c=

 

；
（2）当∠APB=90°，求实数k的值；
（3）若直线y=15k与抛物线L₂交于E，F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不发生变化，请求出EF的长度；如果发生变化，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）把点A、B的坐标代入函数解析式求解即可得到b、c的值；
（2）把二次函数L₂整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标，再根据二次函数的对称性判断出△APB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得点P到AB的距离等于

1

2

AB，然后求解即可；
（3）根据抛物线与直线y=15k，消掉y得到关于x的一元二次方程，求出点E、F的横坐标，再根据EF∥x轴求出EF的长即可．

解答：解：（1）∵y=-2x²+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，
∴

-2+b+c=0 -18+3b+c=0

，
解得

b=8 c=-6

；
故答案为：8，-6；

（2）∵y=kx²-4kx+3k=k（x²-4x+4）-4k+3k=k（x-2）²-k，
∴顶点P的坐标为（2，-k），
∵∠APB=90°，
∴△APB是等腰直角三角形，
∴|-k|=

1

2

AB=

1

2

×（3-1）=1，
解得k=±1；

（3）联立

y=kx2-4kx+3k y=15k

消掉y得，
kx²-4kx+3k=15k，
∴k（x²-4x-12）=0，
∵k≠0，
∴x²-4x-12=0，
解得x₁=-2，x₂=6，
∴点E、F的横坐标分别为-2，6，
∵直线y=15k与x轴平行，
∴EF=6-（-2）=6+2=8，
故EF的长度不发生变化，为8．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数顶点式解析式求顶点坐标，二次函数的对称性，等腰直角三角形的判定与性质，综合题，但难度不大，（2）要注意k值有两个，（3）条件k≠0的应用．