Question

已知关于x的方程x²-2（m-2）x+m²=0，问：
（1）若方程有实根，求m的取值范围；
（2）是否存在m的值，使方程的两个实数根的平方和等于56？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）利用根的判别式建立不等式，求得m的取值范围即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求得方程两根的和与两根的积，两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，根据方程的两个实数根的平方和等于56，即可得到一个关于m的方程，求得m的值．

解答：解：（1）∵关于x的方程x²-2（m-2）x+m²=0，有实数根，
∴△=[-2（m-2）]²-4m²≥0，
解得：m≤1；
（2）设方程的两个实数根为x₁、x₂，
则x₁+x₂=2（m-2），x₁×x₂=m²，
令x₁²+x₂²=56得：（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4（m-2）²-2m²=56，
解这个方程得，m=10或m=-2，
当m=10时，△＜0，所以不合题意，应舍去，
当m=-2时，△＞0，
所以存在实数m=-2，使得方程的两个实数根的平方和等于56．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了根的判别式．