Question

图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．

（1）求此抛物线的解析式

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．

Answer 1

解：（1）设抛物线为y=a（x﹣4）²﹣1，

∵抛物线经过点A（0，3），

∴3=a（0﹣4）²﹣1，；

∴抛物线为；（3分）

 

（2）相交．

证明：连接CE，则CE⊥BD，

当时，x₁=2，x₂=6．

A（0，3），B（2，0），C（6，0），

对称轴x=4，

∴OB=2，AB==，BC=4，

∵AB⊥BD，

∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，

∴△AOB∽△BEC，

∴=，即=，解得CE=，

∵＞2，

∴抛物线的对称轴l与⊙C相交．（7分）

 

（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；

可求出AC的解析式为；（8分）

设P点的坐标为（m，），

则Q点的坐标为（m，）；

∴PQ=﹣m+3﹣（m²﹣2m+3）=﹣m²+m．

∵S_△PAC=S_△PAQ+S_△PCQ=×（﹣m²+m）×6

=﹣（m﹣3）²+；

∴当m=3时，△PAC的面积最大为；

此时，P点的坐标为（3，）．（10分）