Question

15．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h₁，h₂，h₃，满足h₂+h₃-h₁=6，那么等边△ABC的面积为（　　）

• A． 4$\sqrt{3}$
• B． 8$\sqrt{3}$
• C． 9$\sqrt{3}$
• D． 12$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先设等边三角形ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，根据S_△PAB+S_△PAC-S_△PCB=S_△CAB，得出$\frac{1}{2}$ah₁+$\frac{1}{2}$ah₂-$\frac{1}{2}$ah₃=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，再根据h₂+h₃-h₁=6，求得a=4$\sqrt{3}$即可得到等边△ABC的面积．

解答 解：设等边三角形ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，则
S_△PAB+S_△PAC-S_△PCB=S_△CAB，
即$\frac{1}{2}$ah₁+$\frac{1}{2}$ah₂-$\frac{1}{2}$ah₃=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，
∴$\frac{1}{2}$a（h₂+h₃-h₁）=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，
∵h₂+h₃-h₁=6，
∴a=4$\sqrt{3}$，
∴S_△CAB=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=12$\sqrt{3}$，
故选（D）．

点评 本题主要考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长之间的关系．根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解决问题的关键．