Question

17．如图1，已知一次函数y=kx-2k（k≠0）的图象与x轴交于点A，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）经过O、A两点，顶点为D，以点D为圆心、DA为半径作⊙D．
（1）试求含a的代数式表示b；
（2）将⊙D关于x轴对称得到⊙D′，当⊙D′恰与直线AD相切时，求⊙D的半径及抛物线的解析式；
（3）当a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，如图2，设点B是⊙D上的一个动点（异于O、A两点），函数y=kx-2k（k≠0）的图象与抛物线交于另一点P（异于O、A两点），请问：是否存在点P使得∠OAP=$\frac{1}{2}$∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数y=kx-2k（k≠0）的图象与x轴交于点A，易得点A的坐标，把A，O坐标代入y=ax²+bx+c（a＞0）可得a、b的关系式；
（2）当⊙D′恰与直线AD相切时，四边形ODAD′是正方形，△OAD是等腰直角三角形，易得D点坐标和和DA的长，进而求出抛物线解析式；
（3）根据题意，求出D点坐标，易知∠ODA=120°，所以∠OBA=60°或120°，由于∠OAP=$\frac{1}{2}$∠OBA，于是当∠OAP=30°或60°时分类讨论，可得答案．

解答 解：（1）一次函数y=kx-2k（k≠0）的图象与x轴交于点A的坐标为（2，0），把A（2，0），O（0，0）代入y=ax²+bx+c（a＞0），得c=0，4a+2b=0，
∴b=-2a；
（2）将⊙D关于x轴对称得到⊙D′，
∴DO=DA=D′O=D′A，
∵⊙D′恰与直线AD相切，
∴四边形ODAD′是正方形，△OAD是等腰直角三角形，
∵OA=2，
∴DO=DA=$\sqrt{2}$，D（1，-1），
把D（1，-1）代入抛物线解析式与b=-2a联立得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=-2a}\\{a+b=-1}\end{array}\right.$
解得：a=1，b=-2，
∴抛物线解析式为：y=x²-2x；
（3）存在；
当a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，b=-2a=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1）²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴D（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
作DH⊥OA，则OH=AH=1，DH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ODH=∠ADH=60°，
∴∠ODA=120°，
∵点B是⊙D上的一个动点（异于O、A两点），
∴∠OBA=60°或120°，
①如图1所示，当∠OBA=60°时，∠OAP=$\frac{1}{2}$∠OBA=30°，
点P在x轴下方时，∠OAP=∠OAD=30°
∴P与D重合，
∴P（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
点P在x轴上方时，∠OAP=30°，直线AP与直线AD关于x轴对称
易求得直线AD的解析式y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
∴直线AP的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
直线AP与抛物线相交，则$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
解得：x=-1或x=2
x=-1时，y=$\sqrt{3}$，
∴P（-1，$\sqrt{3}$），
②如图2所示，当∠OBA=120°时，∠OAP=$\frac{1}{2}$∠OBA=60°，
点P在x轴下方时，∠OAP=60°，
∴k=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴直线AP的解析式为：y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，
直线AP与抛物线相交，则$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，
解得：x=2或x=3，
x=3时，y=$\sqrt{3}$，
∴P（3，$\sqrt{3}$），此时∠OAP=120°，不合题意舍去；
点P在x轴上方时，∠OAP=60°，
直线AP的解析式为：y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
直线AP与抛物线相交，则$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
解得：x=2或x=-3，
x=-3时，y=5$\sqrt{3}$，
∴P（-3，5$\sqrt{3}$），
综上所述：P（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）或P（-1，$\sqrt{3}$）或P（-3，5$\sqrt{3}$）．

点评 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式和直线解析式，顶点坐标，勾股定理计算，以及分类思想的应用，综合性较强，有一定的难度．