Question

如图，直线y₁=

4

3

x与双曲线y₂=

k

x

（x＞0）交于点A，将直线y₁=

4

3

x向下平移4个单位后称该直线为y₃，若y₃与双曲线交于B，与x轴交于C，与y轴交于D，AO=2BC，连接AB，则以下结论错误的有（　　）
①点C坐标为（3，0）；②k=

16

3

；③S_{四边形OCBA}=

27

4

；
④当2＜x＜4时，有y₁＞y₂＞y₃；⑤S_{四边形ABDO}=2S_△COD．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：根据一次函数图象的平移规律，由y₁=

4

3

x向下平移4个单位得到直线BC的解析式为y₃=

4

3

x-4，然后把y=0代入确定C点坐标，即可判断①；作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，易证得Rt△OAE∽△RtCBF，则

OA

BC

=

AE

BF

=

OE

CF

=2，若设A点坐标为（a，

4

3

a），则CF=

1

2

a，BF=

2

3

a，得到B点坐标（3+

1

2

a，

2

3

a），然后根据反比例函数上点的坐标特征得a•

4

3

a=（3+

1

2

a）•

2

3

a，解得a=2，于是可确定点A点坐标为（2，

8

3

），再将A点坐标代入y₂=

k

x

，求出k的值，即可判断②；根据S_{四边形OCBA}=S_△OAE+S_梯形AEFB-S_△BCF，求出S_{四边形OCBA}，即可判断③；根据图象得出当2＜x＜4时，直线y₁在双曲线y₂的上方，双曲线y₂又在直线y₃的上方，即可判断④；先根据三角形面积公式求出S_△COD=

1

2

×3×4=6，再由S_{四边形ABDO}=S_{四边形OCBA}+S_△OCD，得出S_{四边形ABDO}=12，即可判断⑤．

解答：解：①∵将直线y₁=

4

3

x向下平移4个单位后称该直线为y₃，y₃与双曲线交于B，与x轴交于C，
∴直线BC的解析式为y₃=

4

3

x-4，
把y=0代入得

4

3

x-4=0，解得x=3，
∴C点坐标为（3，0），故本结论正确；
②作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，如图，
∵OA∥BC，
∴∠AOC=∠BCF，
∴Rt△OAE∽Rt△CBF，
∴

OA

BC

=

AE

BF

=

OE

CF

=2，
设A点坐标为（a，

4

3

a），则OE=a，AE=

4

3

a，
∴CF=

1

2

a，BF=

2

3

a，
∴OF=OC+CF=3+

1

2

a，
∴B点坐标为（3+

1

2

a，

2

3

a），
∵点A与点B都在y₂=

k

x

（x＞0）的图象上，
∴a•

4

3

a=（3+

1

2

a）•

2

3

a，解得a=2，
∴点A的坐标为（2，

8

3

），
把A（2，

8

3

）代入y=

k

x

，
得k=2×

8

3

=

16

3

，故本结论正确；
③∵A（2，

8

3

），B（4，

4

3

），CF=

1

2

a=1，
∴S_{四边形OCBA}=S_△OAE+S_梯形AEFB-S_△BCF
=

1

2

×2×

8

3

+

1

2

×（

8

3

+

4

3

）×2-

1

2

×1×

4

3

=

8

3

+4-

2

3

=6，故本结论错误；
④由图象可知，当2＜x＜4时，有y₁＞y₂＞y₃，故本结论正确；
⑤∵S_△COD=

1

2

×3×4=6，S_{四边形ABDO}=S_{四边形OCBA}+S_△OCD=6+6=12，
∴S_{四边形ABDO}=2S_△COD，故本结论正确．
故选A．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了相似三角形的判定与性质，图形的面积以及一次函数图象的平移问题．