Question

13．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；
（3）猜想：当∠A为多少度时，∠DEF=60°？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过全等三角形的判定定理SAS证得△DBE≌△ECF，由“全等三角形的对应边相等”推知DE=EF，所以△DEF是等腰三角形；
（2）由等腰△ABC的性质求得∠B=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-40°）=70°，所以根据三角形内角和定理推知∠BDE+∠DEB=110°；再结合△DBE≌△ECF的对应角相等：∠BDE=∠FEC，故∠FEC+∠DEB=110°，易求∠DEF=70°；
（3）由（2）知，∠DEF=∠B，于是得到∠B=60°，推出△ABC是等边三角形，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵AB=AD+BD，AB=AD+EC，
∴BD=EC．
在△DBE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠B=∠C}\\{BD=EC}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△ECF（SAS）     
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；

（2）解：∵∠A=40°，
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-40°）=70°，
∴∠BDE+∠DEB=110°． 
又∵△DBE≌△ECF，
∴∠BDE=∠FEC，
∴∠FEC+∠DEB=110°，
∴∠DEF=70°；
（3）解：当∠A=60°时，∠DEF=60°，
理由：由（2）知，∠DEF=∠B，
∵∠DEF=60°，
∴∠B=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．