Question

已知:如图,菱形ABCD中,∠BAD=120°,动点P在直线BC上运动,作

∠APM=60°,且直线PM与直线CD相交于点Q,Q点到直线BC的距离为QH.

(1)若P在线段BC上运动,求证:CP=DQ.

(2)若P在线段BC上运动,探求线段AC,CP,CH的一个数量关系,并证明你的结论.

Answer 1

 (1)连接AQ,作PE∥CD交AC于E,则△CPE是等边三角形,∠EPQ=∠CQP.

又∠APE+∠EPQ=60°,∠CQP+∠CPQ=60°,

∴∠APE=∠CPQ,

又∵∠AEP=∠QCP=120°,PE=PC,

∴△APE≌△QPC,∴AE=QC,AP=PQ,

∴△APQ是等边三角形,∴∠2+∠3=60°,

∵∠1+∠2=60°,∴∠1=∠3,

∴△AQD≌△APC,∴CP=DQ.

(2)AC=CP+2CH.证明如下:

∵AC=CD,CD=CQ+QD,∴AC=CQ+QD,

∵CP=DQ,∴AC=CQ+PC,

又∵∠CHQ=90°,∠QCH=60°,∴∠CQH=30°,

∴CQ=2CH,∴AC=CP+2CH.