Question

13．如图，直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴和y轴分别相交于A、B两点，把△AOB绕原点顺时针旋转90°得到△COD，且抛物线y=ax²b+x+c过A、C、D三点．
（1）求A、B、C、D的坐标；
（2）求抛物线的表达式；
（3）若抛物线在第二象限存在点M，使MA=MB，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）先利用一次函数的解析式求出A点和B点坐标，再利用旋转的性质得到∠AOC=∠BOD=90°，OC=OA，OD=OB，则可表示出C点和D点坐标；
（2）设交点式y=a（x+4）（x-2），再把C点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；
（3）设M（t，-$\frac{1}{2}$t²-t+4），t＜0，利用两点间的距离公式得到MA=$\sqrt{（t+4）^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+4）^{2}}$，MB=$\sqrt{{t}^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+4-2）^{2}}$，则$\sqrt{（t+4）^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+4）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+4-2）^{2}}$，然后解方程求出t即可得到M点坐标．

解答 解：（1）当y=0时，$\frac{1}{2}$x+2=0，解得x=-4，则A（-4，0），
当x=0时，y=$\frac{1}{2}$x+2=2，则B（0，2），
∵△AOB绕原点顺时针旋转90°得到△COD，
∴∠AOC=∠BOD=90°，OC=OA，OD=OB，
∴C（0，4），D（2，0），
（2）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-2），
把C（0，4）代入得a•4•（-2）=4，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+4）（x-2），即y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4；
（3）设M（t，-$\frac{1}{2}$t²-t+4），t＜0，
MA=$\sqrt{（t+4）^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+4）^{2}}$，MB=$\sqrt{{t}^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+4-2）^{2}}$，
而MA=MB，
∴$\sqrt{（t+4）^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+4）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+4-2）^{2}}$，
整理得t²-2t-14=0，解得t₁=1+$\sqrt{15}$（舍去），t₂=1-$\sqrt{15}$，
∴M点坐标为（1-$\sqrt{15}$，-5+2$\sqrt{15}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和旋转的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用两点间的距离公式计算线段的长．