Question

8．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF=1，若M、N分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值为$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 作点F关于AD的对称点G，过G作GN⊥AE与N，交AD于M，则GN的长度等于MN+MF的最小值，根据对称的性质得到∠DMF=∠GMD，根据余角的性质得到∠FMD=∠BAE=∠AMN，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．

解答 解：作点F关于AD的对称点G，过G作GN⊥AE与N，交AD于M，
则GN的长度等于MN+MF的最小值，
∵△DGM≌△DGF，
∴∠DMF=∠GMD，
∵∠GMD=∠AMN，
∵∠AMN+∠MAN=∠MAN+∠BAE=90°，
∴∠FMD=∠BAE=∠AMN，
∴△ABE∽△DMF∽△AMN，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{DM}{DF}$，
∵AB=4，
∴BE=2，
∵DF=1，
∴DM=2，
∴AM=2，
∵$\frac{AN}{MN}=\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵GM=$\sqrt{D{G}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴GN=GM+MN=MN+MF=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．
∴MN+MF的最小值为$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了轴对称-最短距离问题，相似三角形的判定和性质，正确的确定M，N的位置是解题的关键．