题目内容

能力拓展：
A₁： $数学公式$ ；A₂： $数学公式$ ；A₃： $数学公式$ ；A₄： $数学公式$ =________．
…A_n：．
（1）请观察A₁，A₂，A₃的规律，按照规律完成填空．
（2）比较大小A₁和A₂
∵ $数学公式$ $数学公式$
∴ $数学公式$ $数学公式$
∴ $数学公式$ $数学公式$
（3）同理，我们可以比较出以下代数式的大小： $数学公式$ $数学公式$ ； $数学公式$ $数学公式$ ； $数学公式$ $数学公式$

解：（1）观察A₁，A₂，A₃的规律可知，将等式右边的分式分母有理化，即得等式左边的代数式，所以
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

（2）∵ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ＞1（不等式的两边同时加上 $\text{[math]}$ ，不等式仍成立）；
∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ；
∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ；

（3）由（1）、（2），知 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ；
故答案为：（1） $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ；
（2）＞，＜，＜；
（3）＜，＜，＜．
分析：（1）观察A₁，A₂，A₃的规律可知，将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；
（2）先根据不等式的性质：等式的两边同时加上或减去一个数，等式仍成立，求得 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，然后利用（1）的结论解答；
（3）利用（2）的结论进行填空．
点评：主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．