Question

15．已知：如图，AD=CD=CB=AB=a，DA∥CB，AB⊥CB，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．
（1）求AC的长；
（2）求证：AB=$\sqrt{2}$AG．

Answer 1

分析 （1）先判断四边形ABCD为正方形，则利用正方形的性质得AC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$a；
（2）先根据角平分线的性质得EF=BE，再证明△ABE≌△AFE得到AF=AB，然后证明△AFG为等腰直角三角形，则AF=$\sqrt{2}$AG，于是得到AB=$\sqrt{2}$AG．

解答 （1）解：∵AD=CD=CB=AB=a，AB⊥CB，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$a；
（2）证明：∵AE平分∠BAC，EB⊥AB，EF⊥AC，
∴EF=BE，
在△ABE和△AFE中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{EF=EB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AFE，
∴AF=AB，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=45°，
∵FG⊥AB，
∴△AFG为等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$AG，
∴AB=$\sqrt{2}$AG．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了角平分线的性质和等腰直角三角形的性质．