Question

4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax²-3ax+2交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴的正半轴于点C，且BO=4AO．
（1）如图1，求a的值；
（2）如图2，点D在第一象限内的抛物线上，将直线BD绕点D顺时针旋转90°，点B的对应点E恰好落在直线y=x上，求直线BD的解析式；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P（m，n）在第一象限的抛物线上，过点O作OH∥BD，过点F（m，n+$\frac{1}{2}$）作FH∥DE，交OH于点H，交y轴于点G，若FG=2GH，求m、n的值．

Answer 1

分析 （1）先确定出抛物线对称轴，再用BO=4AO，求出点A的坐标，代入抛物线解析式求出a，
（2）先判断出△EKD≌△DLB，再设出点D坐标，表示出点E坐标，用点E恰好落在直线y=x上，建立方程求出t，即可；
（3）先判断出HF⊥OH，用三角函数判断出OH=2HG，从而得到△OHQ≌△GFN，用m表示出点F坐标，利用点F在抛物线上建立方程求出m即可．

解答 （1）抛物线的解析式为y=ax²-3ax+2
∴抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{-3a}{2a}$=$\frac{3}{2}$
如图1，

作抛物线的对称轴交x轴于点M，则M（$\frac{3}{2}$，0）
∵OB=4OA，
∴AB=5OA，
∴AM=$\frac{5}{2}$OA，
∴OM=$\frac{3}{2}$OA=$\frac{3}{2}$
∴OA=1，
∴A（-1，0）
∴a+3a+2=0，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
（2）抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2
如图2，

过D作DL⊥x轴于点L，过E作SK⊥DL于点K，交y轴于点S
∵∠EDK+∠LDB=90°，∠LDB+∠DBL=90°，
∴∠EDK=∠DBL
∵∠EKD=∠DLB=90°，BD=DE，
∴△EKD≌△DLB
∴EK=DL，DK=BL
设D（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2），
由（1）可知B（4，0）
∴DK=BL=4-t，DL=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2
∴OS=KL=DL-DK=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2-（4-t）=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2
SE=SK-EK=t-（-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-2
∴E（$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-2，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2）
∵E在y=x上，
∴$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-2=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2，
解得t=0（舍）或t=3
∴D（3，2）
（3）如图3，

过F作FN⊥y轴于点N，过H作HQ⊥y轴于点Q
∵B（4，0），D（3，2），
∴直线BD的解析式为y=-2x+8
∵HF∥DE，OH∥BD，
∴OH的解析式为y=-2x
∵∠BDE=90°，
∴HF⊥OH
∵FG=2GH，
∴FN=2HQ，
∵P（m，n），
∴H（-$\frac{m}{2}$，m）
∴HQ=$\frac{m}{2}$，OQ=m，
∴tan∠HOG=$\frac{1}{2}$，
∴OH=2HG
∴FG=OH，
∴△OHQ≌△GFN
∴GN=HQ=$\frac{m}{2}$，
∴GQ=$\frac{m}{4}$，
∴ON=$\frac{7m}{4}$
∴F（m，$\frac{7m}{4}$）
∵P在抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2上，
∴n=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2
∴F（m，-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+$\frac{5}{2}$），
∴-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+$\frac{5}{2}$=$\frac{7m}{4}$
解得m=-$\frac{5}{2}$（舍）或m=2，
∴P（2，3）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线对称轴的确定，待定系数法，锐角三角函数，解本题的关键是判定△EKD≌△DLB，用方程的思想是解此类题的关键．