Question

一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=-

1

2

(x-4)2+8刻画，斜坡（OA）可以用一次函数y=

1

2

x刻画．
（1）在直角坐标系中画出球的抛出路线草图．当小球离点O的水平距离为多少时，小球离斜坡的铅垂高度（即小球离点O的水平距离为x时的高度减去此时斜坡的高度）是2；
（2）当小球离点O的水平距离为多少时，小球离斜坡的铅垂高度达到最大，并求出这个最大值．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线解析式，画出抛物线的图象，并根据铅垂高度的定义，得出方程，解出即可得出答案；
（2）利用配方法求出二次函数的最大值即可．

解答：解：（1）利用描点法在直角坐标系中画出球的抛出路线草图如下：

设小球离斜坡的铅垂高度为z，则z=-

1

2

(x-4)2+8-

1

2

x，
即z=-

1

2

x2+

7

2

x，
依题意得：-

1

2

x2+

7

2

x=2，
解得：x₁=

7+ 33

2

，x₂=

7- 33

2

，
所以当小球离点O的水平距离为

7+ 33

2

或

7- 33

2

时，小球离斜坡的铅垂高度是2．

（2）∵z=-

1

2

x2+

7

2

x，
∴z=-

1

2

(x-

7

2

)2+

49

8

，
故当小球离点O的水平距离为

7

2

时，小球离斜坡的铅垂高度最大，最大值是

49

8

．

点评：本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解铅垂高度的定义，注意掌握配方法求二次函数最值得应用，难度一般．