Question

某通讯器材公司销售一种市场需求量较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为30元，试销时，物价部门规定，每件产品的销售价不低于进价，且获利不得超过其进价．为了解这种产品的年销售量y（万件）与实际售价x（元/件）之间的关系，试销一段时间后，部门负责人把试销情况成下表：

销售单价x（元/件）	…	40	50	60	70	80	…
年销售量y（万件）	…	60	50	40	30	20	…

（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出y（万件）与x（元/件）的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）此外，销售该产品的总开支z（万元）（不含进价）与年销售量y（万件）存在如下的函数关系：z=10y+400；该公司销售这种产品的年利润为P（万元），求P与x之间的函数关系式（注：年利润=年销售额-成本-总开支）；
（3）求该公司销售这种产品的年利润最多是多少万元．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）易判定该函数式为一次函数，即可求得函数解析式；
（2）根据年利润=年销售额-成本-总开支，列出二次函数式，即可解题；
（3）对（2）中年利润的二次函数式求最值，即可求得该公司销售这种产品的最大年利润，即可解题．

解答：解：（1）∵

50-40

50-60

=

40-30

60-70

，
∴y关于x的解析式为一次函数，
代入（50，50）（60，40）得：y=-x+100，（30≤x≤100）；
（2）∵年利润=年销售额-成本-总开支，
∴P=yx-30y-z
=（-x+100）x-30（-x+100）-[10（-x+100）+400]
=-x²+100x+30x-3000+10x-1400
=-x²+140x-4400；
（3）P=-x²+140x-4400，
当x=

140

2

=70时，P有最大值为500万元．

点评：本题考查了一次函数解析式的求解，考查了二次函数解析式的求解和最值问题，本题中正确求得二次函数解析式是解题的关键．