Question

16．如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG．
（1）求证：△AGE≌△ECF；
（2）将△ECF绕点E逆时针旋转90°，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF与BG的位置关系．

Answer 1

分析 （1）G、E分别为AB、BC的中点，由正方形的性质可知AG=EC，△BEG为等腰直角三角形，则∠AGE=180°-45°=135°，而∠ECF=90°+45°=135°，得∠AGE=∠ECF，再利用互余关系，得∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF，ASA可证△AGE≌△ECF；
（2）直接利用旋转的性质画出图形，进而得出CF与BG的位置关系．

解答 证明：∵正方形ABCD，点G，E为边AB、BC中点，
∴AG=EC，△BEG为等腰直角三角形，
∴∠AGE=180°-45°=135°，
又∵CF为正方形外角平分线，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∵∠AEF=90°，
∴∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF，
在△AGE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGE=∠ECF}\\{AG=CE}\\{∠GAE=∠CEF}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△ECF（ASA）；

（2）如图所示：
，
F′C′与BG延长线相交．

点评 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质．关键是根据正方形的性质寻找判定三角形全等的条件．