Question

3．如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．
（1）请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）最低费用为多少？

Answer 1

分析 （1）根据题意，要使铺设水管的费用最少，则自来水厂与A、B两个小镇的距离和最小，所以作出点A关于直线l的对称点E，连接BE，则BE与直线l的交点即是水厂的位置M．
（2）首先根据勾股定理，求出BE的长度是多少，即可判断出铺设水管的长度最短是多少；然后根据总价=单价×数量，用每千米的费用乘以铺设的水管的长度，求出最低费用为多少即可．

解答 解：（1）根据分析，水厂的位置M为：


（2）如图2，，
在直角三角形BEF中，EF=CD=30（千米），BF=BD+DF=30+10=40（千米），
∴BE=$\sqrt{{EF}^{2}{+BF}^{2}}=\sqrt{{30}^{2}{+40}^{2}}=50$（千米），
∴铺设水管长度的最小值为50千米，
∴铺设水管所需费用的最小值为：
50×3=150（万元）．
答：最低费用为150万元．

点评 （1）此题主要考查了轴对称-最短路线问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了总价、单价、数量的关系：总价=单价×数量，单价=总价÷数量，数量=总价÷单价，要熟练掌握．