Question

12．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O点，EF为BC边上的两点，且∠EOF=45°，过点O作OE的垂线OG，交AB于点G，连接FG，下列结论：①△COE≌△BOG；②△COE∽△BOF；③CE+BF=EF；④CE²+BF²=EF²．其中正确结论的序号是①④（把正确结论的序号都填在横线上）

Answer 1

分析 如图，作辅助线；首先运用正方形的性质证明OB=OC，∠OBG=∠OCE=45°；证明∠BOG=∠COE，运用ASA公理即可证明△COE≌△BOG，得到结论①正确；证明△MOE≌△COE，得到∠OME=∠OCE=45°，进而得到∠EMF=90°，运用勾股定理即可证明结论④正确．

解答 解：如图，作△OBF的对称△OMF，连接ME；
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠OBG=∠OCE=45°，∠BOC=90°；
∵OG⊥OE，
∴∠BOG=∠COE；在△COE与△BOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COE=∠BOG}\\{OC=OB}\\{∠OBG=∠OCE}\end{array}\right.$，
∴△COE≌△BOG（ASA），
故①正确．
设∠BOF=α，∠COE=β；
∵∠BOC=90°，∠EOF=45°，
∴α+β=90°-45°=45°；
由题意得：∠MOF=∠BOF=α，∠OMF=∠OBF=45°，
OM=OB；则∠MOE=45°-α，OC=OM；
∵∠COE=45°-α，
∴∠MOE=∠COE；在△MOE与△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OM}\\{∠COE=∠MOE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△MOE≌△COE（SAS），
∴ME=CE，∠OME=∠OCE=45°，
∴∠FME=90°，MF²+ME²=EF²，
即CE²+BF²=EF²，
故④正确，
故答案为①④．

点评 该题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．