Question

7．关于x的一元二次方程x²-（k+3）x+2k+2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k-1）²≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x₁=2、x₂=k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．

解答 （1）证明：∵在方程x²-（k+3）x+2k+2=0中，△=[-（k+3）]²-4×1×（2k+2）=k²-2k+1=（k-1）²≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x²-（k+3）x+2k+2=（x-2）（x-k-1）=0，
∴x₁=2，x₂=k+1．
∵方程有一根小于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0．

点评 本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k的一元一次不等式．