Question

18．用一块宽度为5m的长方形铁片弯折成如图所示的梯形流水槽，其中BC∥AD，AB=DC，要使流水的截面面积最大，弯折的长度（AB的长）应是多少？

Answer 1

分析 设梯形的面积为S，梯形的腰长为x米，BC=5-2x，作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，就有∠AEB=∠DEB=∠DFC=∠AFC=90°，根据梯形的性质就可以得出AD∥BC，就可以得出∠EBC=90°，得出∠ABE=30°，就有AE=DF=0.5x，AD=5-2x+x=5-x，由勾股定理就可以得出BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，由梯形的面积公式就可以得出S与x之间的关系式，就可以得出结论．

解答 解：设梯形的面积为S，梯形的腰长AB=CD=x米．
∴BC=5-2x．
如图，作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，

∴∠AEB=∠DEB=∠DFC=∠AFC=90°
∵四边形ABCD是梯形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠DCB=120°．
∴∠EBC=90°，
∴四边形EBCF是矩形，∠ABE=30°
∴EF=BC=5-2x．AE=DF=0.5x．
∴AD=5-2x+0.5x+0.5x=5-x．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．
∴S=$\frac{1}{2}$（5-2x+5-x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x
=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{5\sqrt{3}}{2}$x
=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（x-$\frac{5}{3}$）²+$\frac{25\sqrt{3}}{12}$，
故当x=$\frac{5}{3}$时，S取得最大值，最大值为$\frac{25\sqrt{3}}{12}$．
答：要使流水的截面面积最大，弯折的长度（AB的长）应是$\frac{5}{3}$米．

点评 本题考查了二次函数的实际应用，梯形的面积公式的运用，勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰梯形的性质的运用，解答时求出抛物线的解析式是关键．