Question

15．如图，点A（m，4），B （-4，n）在反比例函数$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，经过点A、B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D
（1）若m=2，完成下列填空
①n=-2，k=8
②将反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象向上平移3个单位长度，所得的图象的函数解析式为y=$\frac{8}{x}$+3
③若正比例函数y=ax（a＞0）与反比例函数y=$\frac{k}{x}$交于点M、N，以MN为斜边作等腰Rt△EMN，则点E所在的图象的函数解析式为y=-$\frac{8}{3}$
（2）连接OA、OB，若tan∠AOD+tan∠BOC=1，求点O到直线AB的距离．

Answer 1

分析 （1）①根据点A坐标，利用待定系数法求出k，再求出B的坐标即可；
②将反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象向上平移3个单位长度，所得的图象的函数解析式为y=$\frac{8}{x}$+3；
③如图1中，作MP⊥y轴于P．EQ⊥x轴于Q．由△OPM≌△OQE，推出S_△OPM=S_△OEQ=4，设点E坐标为（x，y），可得$\frac{1}{2}$x（-y）=4，即y=-$\frac{8}{x}$；
（2）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图2，在Rt△AOE中，tan∠AOE=$\frac{AE}{OE}$=$\frac{m}{4}$，在Rt△BOF中，tan∠BOF=$\frac{BF}{OF}$=$\frac{-n}{4}$，而tan∠AOD+tan∠BOC=1，所以 $\frac{m}{4}$+$\frac{-n}{4}$=1，又m+n=0，于是可解得m=2，n=-2，从而得到A（2，4），B（-4，-2），然后利用待定系数法求直线AB的解析式，求出C、D坐标即可解决问题；

解答 解：（1）①∵A（2，4），
∴4=$\frac{k}{2}$，
∴k=8，
∵B（-4，n）在y=$\frac{8}{x}$上，
∴n=-2，
故答案为-2，8．
②将反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象向上平移3个单位长度，所得的图象的函数解析式为y=$\frac{8}{x}$+3．
故答案为y=$\frac{8}{x}$+3．
③如图1中，作MP⊥y轴于P．EQ⊥x轴于Q．

易知△OPM≌△OQE，
∴S_△OPM=S_△OEQ=4，设点E坐标为（x，y），
∴$\frac{1}{2}$x（-y）=4，
∴y=-$\frac{8}{x}$，
故答案为y=-$\frac{8}{x}$．

（2）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图2中，

在Rt△AOE中，tan∠AOE=$\frac{AE}{OE}$=$\frac{m}{4}$，
在Rt△BOF中，tan∠BOF=$\frac{BF}{OF}$=$\frac{-n}{4}$，
而tan∠AOD+tan∠BOC=1，
所以 $\frac{m}{4}$+$\frac{-n}{4}$=1，
而m+n=0，解得m=2，n=-2，
则A（2，4），B（-4，-2），
设直线AB的解析式为y=px+q，
把A（2，4），B（-4，-2）代入得 $\left\{\begin{array}{l}{2p+q=4}\\{-4p+q=-2}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=2}\end{array}\right.$，
所以直线AB的解析式为y=x+2．
∴C（-1，0），D（0，1），CD=$\sqrt{2}$，
∴点O到直线AB的距离=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．