Question

已知BN平分∠ABC，CM平分∠ACB，AM⊥CM，AN⊥BN；
（1）求证：MN∥BC；
（2）MN与AB，BC，AC间的关系．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图，延长AN、BC交于点E，构建等腰△ABE，则点N是AE的中点；同理点M是AF的中点，所以MN是△AFE的中位线，则MN∥BC；
（2）AB+AC-BC=2MN．利用（1）中的全等三角形的性质和三角形中位线定理得到：GH=

1

2

BC，GN=

1

2

BE=

1

2

AB，MH=

1

2

FC=

1

2

AC，所以根据线段间的数量关系得到：MN=GN+MH-GH=

1

2

AB+

1

2

AC-

1

2

BC，即AB+AC-BC=2MN．

解答：（1）证明：如图，延长AN、BC交于点E．
∵AN⊥BN，
∴∠ANB=∠ENB=90°．
又∵BN平分∠ABC，
∴∠ABN=∠EBN．
在△ABN与△EBN中，

∠ANB=∠ENB BN=BN ∠ABN=∠EBN

，
∴△ABN≌△EBN（ASA），
∴AN=EN，即点N是AE的中点．
同理，延长AM、CB交于点F，则易证点M是AF的中点，
∴MN是△AFE的中位线，
∴MN∥FE，则MN∥BC；

（2）AB+AC-BC=2MN．理由如下：
设MN与AB、AC分别交于点G、H．
由（1）知，△ABN≌△EBN，则AB=BE．
同理，AC=FC．
∵MN是△AFE的中位线，
∴GH=

1

2

BC，GN是△ABE的中位线，
∴GN=

1

2

BE=

1

2

AB．
同理，MH=

1

2

FC=

1

2

AC，
∴MN=GN+MH-GH=

1

2

AB+

1

2

AC-

1

2

BC，
即AB+AC-BC=2MN．

点评：此题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定，关键是证出△ABN≌△EBN，得到AB=BE，AC=FC，熟记三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．