Question

如图，点B是半径为6的⊙O上一点，过点B作一个30°的圆周角∠ABC，则由弦AB、BC和

AC

组成的图形的面积的最大值是

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,等边三角形的判定与性质,圆周角定理,扇形面积的计算

专题：

分析：

AC

与弦AC围成的弓形的面积一定，且弦AC的长度确定，因而当AC边上的高最大时，弦AB、BC和

AC

组成的图形的面积最大，此时△ABC中AB=BC，即B是优弧ABC的中点，△ABC的面积加上弓形的面积即可求解．

解答：解：∵∠AOC=2∠ABC=60°，
又∵OA=OB，
∴△AOC是等边三角形，
则OD=

3

2

OA=3

3

，BD=6+3

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

×6×（6+3

3

）=3（6+3

3

）=18+9

3

，
S_△AOC=

3 ×62

4

=9

3

，S_扇形OAC=

60π×62

360

=6π，
∴弦AB、BC和

AC

组成的图形的面积的最大值是：S_△ABC+S_△AOC-S_扇形OAC=18+9

3

+9

3

-6π=18+18

3

-6π．
故答案是：18+18

3

-6π．

点评：本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的判定与性质，正确理解由弦AB、BC和

AC

组成的图形的面积的最大值的条件是关键．