Question

6．如图，排球运动员始终站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-6）²+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.27m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
（1）若发出的球刚好擦网而过，求y与x的关系式；
（2）乙运动员站在对面场中离球网1米的地方，当甲第二次发球时，乙跳到最大高度2.4米刚好将球接住．如果乙运动员因故没有将球接住，球是否落在边界内？
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求a的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设抛物线解析式为y=a（x-6）²+h，由网球过点A（0，2）、（9，2.27），代入解析式转化为解方程组即可．
（2）根据题意，将点A（0，2）、（10，2.4）代入解析式y=a（x-6）²+h，求出二次函数的解析式，再求出x=18时的函数值，即可判断．
（3）将点A（0，2）代入抛物线解析式y=a（x-6）²+h，得：36a+h=2，即h=2-36a，得y=a（x-6）²+2-36a，再根据条件列出不等式即可确定a的范围．

解答 解：（1）根据题意，设抛物线解析式为y=a（x-6）²+h，
由网球过点A（0，2）、（9，2.27），代入解析式，得：
$\left\{\begin{array}{l}{36a+h=2}\\{9a+h=2.27}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-0.01}\\{h=2.36}\end{array}\right.$，
故抛物线解析式为：y=-0.01（x-6）²+2.36；

（2）根据题意，将点A（0，2）、（10，2.4）代入解析式y=a（x-6）²+h，
得：$\left\{\begin{array}{l}{36a+h=2}\\{16a+h=2.4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-0.02}\\{h=2.72}\end{array}\right.$，
则此时抛物线解析式为：y=-0.02（x-6）²+2.72，
当x=18时，y=-0.02×12²+2.72=-0.16＜0，故此时球落在边界内；

（3）将点A（0，2）代入抛物线解析式y=a（x-6）²+h，
得：36a+h=2，即h=2-36a，
∴y=a（x-6）²+2-36a，
∵球一定能越过球网，
∴当x=9时，y≥2.27，
∴a（9-6）²+2-36a≥2.27，
∴a≤-0.01，
∵球不出边界，
∴当x=18时，y≤0，∴
a（18-6）²+2-36a≤0，
解得：a≤-$\frac{1}{54}$
∴a≤-$\frac{1}{54}$．

点评 本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法、不等式等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用利用不等式解决实际问题，属于中考常考题型．